大國院士 第一百八十五章：證明霍奇猜想！

    和德利涅請了個假後，徐川起身走出了宿舍。

    在正式進入霍奇猜想這個未知的領域前，他還有很多工作要做。無論是生活上的，還是數學上的。

    解決霍奇猜想，就像是人類第一次航行於茫茫大海一樣，誰也不知道在未知的海洋中是否還有其他的陸地，誰也不知道是否能順利抵達另一處海岸線。

    他唯一擁有的，就是一條剛剛打造出來的小船。

    而這條小船，在進入未知的海洋後，是否會被風浪掀翻，是否會沉入海底，是否會觸礁卡住無法動彈，徐川也不知道。

    但儘管如此，他依舊要去嘗試。

    因為哪怕是僅僅只航行出去十米，那也是偉大的突破。

    .......

    在商店中採購了一批生活物資後，徐川又從燧石圖書館中借閱了一批有關霍奇猜想的手稿與資料。

    有一部分是他之前看過的，還有一部分則是尚未翻閱的。

    這些都是前人留下的珍貴知識，而且有一些在網絡上根本就搜不到。因為它們只是某個數學家的一些想法和原理論，並未成型。

    這些東西，不管看沒看過，對於他向霍奇猜想發起衝鋒都很有用。

    不過在借閱這些東西的時候，他遇到了個不小的麻煩。

    管理燧石圖書館的是一個看起來不修邊幅的糟老頭子，這個頭髮亂糟糟像個鳥窩的糟老頭是紙質資料領域保存的頂級專家，但也異常的固執。

    而這個固執的老頭始終不願意對外借出這麼多文獻，認為他很有可能損壞或者遺失這些珍貴的稿紙。

    為了獲得這批資料，徐川在燧石圖書館磨了一天，最終的努力也不過是讓對方同意將其放到一起在圖書館中翻閱而已。

    但對於徐川而言，在圖書館中證明霍奇猜想是條並不怎麼靠譜的路。

    這裏雖然很安靜，但每天都人來人往的。

    沒辦法，最終他只能找到普林斯頓數學院的院長戴維·修，作出了一系列的保證，並學習了紙質資料的一些保存方法，甚至簽下了一份保證書，才勉強讓對方同意。

    帶着繁多的資料，徐川重新回到宿舍中。

    其實不用那個來自日耳曼的糟老頭提醒，他也會好好的保護好這些東西的。

    不過現在，除了好好的保存外，對於這些資料而言，更大的價值是在霍奇猜想上發揮出自己的作用。

    想必當初創造出這些知識的數學家肯定也是這樣想的。

    對於一名學者來說，沒人願意看到自己創造出來的知識被束之高閣，如果一項知識不能流傳被運用，對於知識而言，它沒有任何的價值。

    .......

    處理好進入霍奇猜想前的準備，徐川再度將自己鎖在了宿舍中。

    時間就這樣的流逝着，眨眼間，十月金秋到來，洛克菲勒住宿學院外的糖槭、梧桐等樹木開始泛起一絲金黃。偶爾有幾片落葉隨風緩緩飄落。

    三零六號宿舍中，一道人影站在窗前，望向外面的掛滿了懸鈴果實的懸鈴木。

    清晨的日出在墨藍色的雲霞里透亮，窗外金黃色和深綠色的樹葉交織在一起，沉甸甸的懸鈴果鑲嵌其中。

    望着窗外的風景，徐川臉上掛着笑容。

    秋季，是豐收的季節。

    儘管針對霍奇猜想的研究並非如他預想中的那般一帆風順，但對於最終的結果，他始終充滿了信心。

    而兩個月的時間過去，在霍奇猜想這片未知的海洋中，他終於找到了一片出現在眼前的海岸線。

    那是新大陸！

    望着窗外的風景，徐川面帶笑容的轉身回到了桌前。

    儘管霍奇猜想還未完美的解決，但他已經看到了那條海岸相交的地平線，看到了那座聳立在天際的新大陸。

    剩下的，就是努力的將自己的小船划過去了。

    .....

    拾起桌上的圓珠筆，徐川在此前未寫完地方提筆繼續：

    「......設 v是復射影空間中的一個代數簇， vˊ是 v的正則點組成的集合。 vˊ上相對於 fubini-study度量的 l?2-de rham上同調群與 v的交叉上同調群是同構的.....」

    「若 y是 x的定義在 k上余維數為 j的閉子代數簇，我們有標準映射：tr : h2(n?j)(y?k k， q`)(n? j)→ q`......這裏(n? j)是 ?? q`(n? j)。

    這個映射與限制映射：h2(n?j)(x?k k， q`)(n? j)→ h2(n?j)(y， q`)(n? j)」

    「........」

    「根據 poincar′e對偶定理：hom(h2(n?j)(x?k k， q`)(n? j)， q`)～= h2j (x?k k， q`)(j)......「

    .......

    時間一點一點的在他的筆下流逝，徐川全神貫注的將自己投入到了最後的突破上。

    最終，他手中的筆鋒驀然一轉。

    「.....基於映射 tr、限制映射和 poincar′e，對偶定理都與 gal(k/k)的作用相容，所以 gal(k/k)在 y定義的上同調類上的作用也平凡。則 aj (x)是 h2j (x?k k， q`)(j)中由 x的余維數為 j的定義在 k上的閉子代數簇的上同調類生成的 q向量空間.......」

    「當 i≤n/2時， ai (x)n ker(l?n?2i+1)上的二次型x→(?1)il?r?2i(x.x)是正定的。「

    「由此，可得，在非奇異復射影代數簇上，任一霍奇類均是代數閉鏈類的有理線性組合。」

    「即，霍奇猜想成立！」

    手中圓珠筆在潔白的稿紙上點下最後一個圓點，徐川長舒了一口氣，將手中的圓珠筆丟到了一旁，身子往後一躺，靠在了椅背上盯着天花板愣愣的發呆。

    當最後一個字符在稿紙上落下的時候，他心裏湧出的並不是興奮，不是高興，也不是滿足感和成就感。

    而是帶着一些不可置信的迷茫。

    耗去長達四個多月的時間，從米爾扎哈尼教授遺留給他的手稿開始，到『微分代數簇的不可縮分解』問題的解決，再到代數簇與群映射工具的完善，到最後的霍奇猜想的解決。

    在這條路上，他經歷了太多。

    盯着天花板良久，徐川終於回過神來，目光落在了身前書桌上的稿紙上。

    將所有的稿紙完整的過了一遍，確定這真的是自己的做出來的成果後，他臉上終於露出了璀璨的笑容，明朗如窗外透進來的陽光。

    如果沒有意外的話，他，成功了。

    成功解決掉了霍奇猜想這個世紀難題。

    這是自1924年數學家來夫謝茨對於(1，1)類的霍奇猜想證明後，和霍奇猜想相關的問題最重要的突破。

    儘管他現在還不知道它是否能經得起其他數學家和時間的考驗。

    但無論如何，他在數學上再次踏出了一大步。

    .......

    完成證明霍奇猜想的論文之後，徐川又花費了一些時間，將稿紙上的這些東西再度過了一遍，並完善了一些其他的細節。

    處理完成這些後，他開始動手將其整理到筆記本中。

    而後準備公開。

    對於任何一個數學猜想的證明來說，證明者是沒有資格給予它是否正確的評價的。

    唯有全面公開，且經歷同行評審與時間的考驗，才能確定它是否真的已經成功。

    花費了整整一周的時間，徐川總算是將手中近百頁的稿紙全部輸入了電腦中。

    這上百頁的證明，其中有超過三分之一以上的篇幅，是針對解決霍奇猜想的代數簇與群映射工具的解釋與論證，還有三分之一的篇幅，是針對霍奇猜想與代數簇與群映射工具搭建的理論框架。

    剩下的，才是霍奇猜想的證明過程。

    對於這篇論文而言，工具與框架，才是它的核心基礎。

    如果他願意，完全可以將工具和理論框架單獨拆分出來作為獨立的論文進行發表。

    就如同彼得·舒爾茨的『p進類完美空間理論』一樣。

    這些東西，如果最終被數學界接受，足夠他拿到一次菲爾茲獎的。

    這並非是菲爾茲獎的廉價，而是數學工具對於數學的重要性。

    一項出色的數學工具，能解決的可不僅僅是一個問題。

    就像一把斧頭一樣，它不僅僅能用以砍伐樹木，也可以用做木工的工具，加工物品，還可以用作武器，進行廝殺。

    同理，他構設的代數簇與群映射工具，也不僅限於與霍奇猜想。

    不少代數簇與微分形式以及多項式方程，甚至是代數拓撲方向的難題，它都可以用來進行嘗試。

    比如和霍奇猜想同屬於一類猜想家族的『布洛赫猜想』、『代數曲面的霍奇理論應該確定零循環的chow群是否是有限維的』問題、還有有限系數的某些動機上同調群同構映射到 etale上同調問題猜等等。

    這些猜想和問題相互支持，數學家不斷地在其中一個或另一個上取得進展，試圖證明它們導致了數論、代數和代數幾何方面的巨大進步。

    代數簇與群映射工具能解決霍奇猜想，那麼它在同類型的猜想上不說能完全適應，但至少也能起到一部分作用。

    因為霍奇猜想本就是研究代數拓撲和多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。

    它所研究的東西，並非是最先進的數學知識，而是在代數幾何、分析和拓撲學這三個學科之間建立起一種基本的聯繫。

    解決這個問題，需要的證明者對這三大領域的數學都有着極深的了解。

    對於絕大部分的數學家來說，能在代數幾何、分析、拓撲學這三大領域中的某一個領域有着深入研究就相當不易了，更別提三大領域都精通了。

    而對於徐川而言，分析和拓撲學本就是他上輩子精通的數學領域，唯有代數幾何並不在研究範疇內。

    但這輩子跟隨着德利涅深入學習數學，有這樣的一位導師，他在代數幾何上的進步超乎想像。

    ......

    將霍奇猜想的證明論文全部整理完成並輸入電腦後，徐川將其轉成了pdf格式，然後通過郵箱發給了德利涅和威騰兩位導師。

    想了想，他又將其上傳到了arxiv預印本網站上。

    儘管如今的arxiv預印本網站已經逐漸變成變成了計算機占坑的地方了，但上面仍然還是有大量的數學家和物理學家的。

    將自己未發表的論文丟上去，不僅可以提前占坑防止被抄襲，也可以提前擴大論文的影響力。

    對於霍奇猜想這類問題的證明論文來說，要想徹底完成驗證，需要的時間無疑是相當漫長的。

    比如此前『龐加來猜想』的三維情形被數學家格里戈里·佩雷爾曼於2003年左右證明，但直到2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加來猜想。

    當然，這也和佩雷爾曼幾乎拒絕了任何頒發給他的獎項，且深居隱出有關係。

    畢竟一個猜想的證明者，如果不去推廣自己的證明方法和過程話，別人想要快速的了解這種方法幾乎是不可能的事情。

    特別是在數學這一領域。

    對於一篇證明論文來說，如果沒有原創者加以解釋，解答其他同行的困惑，其他數學家想要徹底弄懂這篇論文是一件很難的事情。

    此外，針對千禧年數學難題這種重大猜想，數學界接受的過程一般也比較長。

    畢竟它的正確與否干係無比重大。

    就好比黎曼猜想，從1859年被數學家波恩哈德·黎曼提出後，至今數學界的文獻中，已有超過數千條的數學命題，以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。

    如果一旦黎曼猜想被證否，不說數學這座大廈崩塌，至少涉及到黎曼猜想的龐大領域，從數論、到函數、再到分析、到幾何......可以說幾乎整個數學都將有着重大的改變。

    而黎曼猜想一旦被證明，那麼圍繞着它而建立的數千條數學命題或者猜想，都將榮升為定理。人類的數學史，將迎來一次無比蓬勃的發展。

    事實上，一個問題或者猜想的證明的審稿速度，在很大程度上取決於這個問題或者猜想的熱度，以及數學界對這個問題或猜想的研究工作進展到了一個怎樣的程度。

    除此之外，還有證明這個問題或者猜想的使用的方法、理論以及工具。

    比如他此前在證明弱weyl_berry猜想的時候，就僅僅只是在巴拿赫空間對稱結構理論以及具分形邊界連通區域上的譜漸近這兩領域做了一些創新，利用分形鼓對相聯繫的計數函數做了開口。

    於是弱weyl_berry猜想的證明過程很快就被高爾斯教授所接受了。

    而在證明weyl_berry猜想過程的時候，他在此前的方法上做了突破，通過狄利克雷域來對Ω的分形維數和分形測度的譜進行限定，再輔以域的擴張及將函數轉換成子群並與中間域和合集建立起來聯繫。

    數學界對於這一方法的接受就要慢很多了。

    哪怕他的論文最終被六名頂級大老進行審核，其中有四名是菲爾茲獎得主，再加上他全程都在現場解答疑惑，也依舊用了很長的時間才被確認。

    而時至今日，整個數學界能完全了解weyl_berry猜想的證明過程的人依舊不多。

    哪怕他後面將這一方法推廣到了天文學界，提升了它的重要性。

    至於現在他手中的霍奇猜想的證明過程，那就更不用說了。

    天知道數學界要多長的時間才會完整的接受這篇論文。

    一年？三年？五年？或者更長？

    在這漫長的時間中，徐川並不願意看到自己的論文被束之高閣。

    他希望有更多的數學家甚至是物理學家參與進來，將其擴大和應用，應用到更多更廣的領域中去。

    ........

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