萬能數據 第一百零五章 魔方矩陣

    魔方矩陣，又稱幻方，縱橫圖。

    是指由1~n^2共n^2個數排列成的有相同的行數和列數，並在每行每列、對角線上的和都相等的一個n階矩陣。

    在《射鵰》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍潭，躲進瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，被黃蓉一下子就答出來了。

    4 9 2

    3 5 7

    8 1 6

    這就是一個最簡單的三階平面魔方矩陣。

    而今天老唐出的這道題，是更加高難度的五階魔方平面矩陣。

    運算難度，不知道比三階魔方矩陣高了多少。

    不過，魔方矩陣既然被數學家們定義出來，那自然有一套起獨特的運算規律。

    根據n的數值，可以分為三種情況。

    當n為奇數，當n為4的倍數，當n為其他偶數！

    老唐這道題是求5階平面魔方，很顯然，可以套用n為奇數的運算規律。

    程諾在腦海里默默回憶起當n為奇數時平面魔方的填寫規律。

    「當 n 為奇數時

    1將1放在第一行中間一列;

    2從2開始直到nxn止各數依次按下列規則存放：

    按 45°方向行走，如向右上

    每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數減1

    3如果行列範圍超出矩陣範圍，則迴繞。

    例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數同樣減1;

    4如果按上面規則確定的位置上已有數，或上一個數是第1行第n列時，

    則把下一個數放在上一個數的下面。」（注1）

    「所以說，正確的答案應該是……」

    程諾在自己的腦海里構建宮格模型。很快，便將25個數字填入其中。

    唰唰唰唰~~

    在同學們眼中，只見程諾沒有任何的猶豫，拿着粉筆在黑板上筆走龍蛇，粉屑飛揚。中間沒有任何停頓，一氣呵成！

    舉手抬足間，透露着無比強大的自信。

    「好了，老師，我填完了。」程諾轉身，將粉筆頭扔在講桌上，微笑着對老唐說道。

    「好，我看一下，你填的對不對？」老唐抱着一種好奇心，看向黑板上已經被填滿的宮格。

    15 8 1 24 17

    16 14 7 5 23

    22 20 13 6 4

    3 21 19 12 10

    9 2 25 18 11

    全部正確！！

    25個數字的位置，和正確答案如出一轍。

    每一行，每一列，每一條對角線的和，都是65！~

    老唐驚訝的看了神色如常的程諾一眼。然後在全班同學滿含期待的目光下宣佈，「程諾同學的答案……是正確的！」

    嘩~~

    全班同學盡皆譁然。

    果然啊，程諾這個傢伙，還是一如既往的強悍呀！

    比不過，實在是比不過。

    他們和程諾的大腦配置，簡直不在一個水平層面上。

    學霸，是只配被學渣所仰望的存在！

    老唐望着程諾說道，「既然程諾同學是第一個把這道題目解出來的同學，那麼我那份『特殊』獎勵就歸程諾同學所有了。程諾，你能不能給大家講一下你是通過何種方法把這題解出來的？」

    「沒問題。」程諾點頭，轉身指着那道題道，「其實這道題很簡單的。」

    這道題……很簡單？

    好吧，你是學霸，你說了算。

    全班同學翻翻白眼。

    程諾聳聳肩，神色如常的繼續講道。「在講這道題之前，我先要給大家講一個模型，叫做魔方矩陣！」

    為什麼程諾能知道魔方矩陣這個東西？

    按理說，高中方面，不會涉及這方面的知識。

    但程諾是誰？他可是學霸！

    學霸的一大特徵就是，永遠不會滿足只學習課內那點知識！

    還記得程諾從書店買回的那一大堆關於世界數學難題的書嗎？其中一個難題的推理過程中，就用到了這個魔方矩陣。程諾就順便將它記下來了。

    程諾站在講台上，將魔方矩陣的三種解法都講了一遍。

    「聽了這個定理之後，大家是不是覺得這道題簡單了許多。首先，第一行中間那個數字肯定是1，數字2的位置……」

    講台下同學們聽得頭暈目眩，不明覺厲，程諾倒是在講台上講的津津有味。

    「好了，我想說的就是這些，謝謝大家！」說完，程諾走下講台。

    啪啪啪~~

    全班同學下意識的鼓掌。

    老唐同志待程諾走下講台後，站在講桌前一臉尷尬。

    妹的！把我想要講的都講完了，讓我講啥？！

    本來，老唐同志就想利用這個題目引出魔方矩陣，在高考前發散一下學生的思維。

    可現在……

    呃……好吧，程諾把魔方矩陣講的比我還詳細，那我這個當老師的還是不獻醜了吧。

    「好了。同學們，我們拿出上周發的那套衡水真題，我們講一下那套試卷。」老唐尷尬的咳嗽了一下，也不問同學們有沒有聽懂了，急忙轉移話題道。

    「哇，穆冷，程諾果然厲害呢。這樣的題都會！」蘇小小的明亮的眼裏充滿了小星星。

    穆冷的嘴角微微上揚，「這才是那個……桀驁的他啊！」

    …………

    「好了，下課。穆冷，程諾，你們兩個跟我來一趟辦公室。」

    伴隨着下課鈴聲，老唐剛好把最後一道題講完。

    程諾和穆冷對視一眼，皆是一頭霧水，不知道老唐找自己有什麼事，不過還是老老實實的跟着老唐走到辦公室。

    下樓梯的時候，程諾湊到穆冷身邊，語氣中略帶擔憂的小聲說道，「冷姐，你說是不是我們兩個談戀愛的事被老唐發現了？」

    穆冷淡淡的瞥了程諾一眼，一字一頓的開口：「你-說-呢！」

    程諾縮了縮脖子，一臉訕訕，「開玩笑，開玩笑。」

    「不過，冷姐，我們兩個的事你真的不再考慮考慮嗎？你看，你是學霸，我也是學霸，學霸配學霸，我們兩個可謂是門當戶對。生出來的孩子也一定是學霸！」程諾握緊雙拳說道。

    穆冷抿了抿嘴唇，模稜兩可的說道，「高考後，我們在談論這個問題吧。」

    「好，我等你。」程諾淡淡一笑。

    ………………

    注1：魔方矩陣另外兩種情況的算法。（正文字數已達2000字，這不是水字數，這是為了幫助大家學會這道題！！請大家理解作者的良苦用心。）

    （2）當n為4的倍數時

    採用對稱元素交換法。

    首先把數1到nxn按從上至下，從左到右順序填入矩陣

    然後將方陣的所有4x4子方陣中的兩對角線上的數關於大方陣中心作中心對稱交換（注意是各各子矩陣對角線上面的數），即a（i，j）與a（n+1-i，n+1-j）交換，所有其它位置上的數不變。（或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可）

    （3）當n 為其它偶數時

    當n為非4倍數的偶數（即4n+2形）時：首先把大方陣分解為4個奇數（2m+1階）子方陣。

    按上述奇數階魔方給分解的4個子方陣對應賦值

    上左子陣最小（i），下右子陣次小（i+v），下左子陣最大（i+3v），上右子陣次大（i+2v）

    即4個子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4

    四個子矩陣由小到大排列方式為1342

    然後作相應的元素交換：a（i，j）與a（i+u，j）在同一列做對應交換（j<t-1或j>n-t+1），

    注意其中j可以去零。

    a（t-1，0）與a（t+u-1，0）；a（t-1，t-1）與a（t+u-1，t-1）兩對元素交換

    其中u=n/2，t=（n+2）/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。

    …………

    ps：解題步驟我已經詳細到這種程度了。如果你們再不會……我也沒辦法了。